Sistem logaritamskih jednačina

Rešiti sistem jednačina

Uvek počinjemo tako što dovodimo logaritme na istu osnovu

Iz jednačine 1 nalazimo da je 

                                                                                

Logaritamske nejednačine

Rešiti nejednačine

Nejednačina je definisana za (Logaritmi)

Osnova logaritma je 5, veća od 1, pa je funkcija monotono rastuća

Iz ova 2 uslova 

Dobijamo da je rešenje nejednačine svako x za koje važi

Osobine logaritama – primena u zadacima

Rešiti jednačine:

Algebarski izrazi

Osobine logaritama

Logaritamske jednačine

Rešiti jednačine:

Jednačina je definisana za:

Prema definiciji logaritma je:

Džon Neper (John Napier)

Džon Neper (John Napier- 4.april 1617) sa nadimkom Veličanstveni Merčiston je bio škotski matematičar, fizičar, astronom/astrolog i osmi lord od Merčistona.

Ostao je u upamćen kao pronalazač logaritama, sprave za jednostavno računanje , poznate pod nazivom Neperove kosti, i po popularizaciji upotrebe decimalne tačke. Neperovo rodno mesto, Merčiston Kastl, Edinburg, Škotska je danas deo Neper univerziteta. Umro je od kostobolje, a sahranjen je u crkvi Sv. Katberta u Edinburgu.

Prirodni logaritam

           Poznat i kao hiperbolički logaritam,  je logaritam za osnovu e, gde je e iracionalna konstanta, čija je približna vrednost 2,718281828. Ponekad se koristi i naziv Neperov (Napierov) logaritam, iako je originalno značenje ovog termina malo drugačije. Jednostavno rečeno, prirodni logaritam broja x je stepen na koji se diže broj e kako bi se dobio taj broj x — na primer, prirodni logaritam broja e je 1 zato što je e¹ = e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto je e⁰ = 1. Prirodni logaritam se može definisati za sve pozitivne realne brojeve x kao površina ispod krive y = 1/t u granicama od 1 do x, a može se definisati i kao kompleksni brojevi različiti od nule.

                                Grafik funkcije prirodnog logaritma.

Broj e

Broj e, kao matematička konstanta, još nazvan i Ojlerov (Eulerov) broj ili Neperova (Napierova) konstanta, je osnova prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u savremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za sabiranje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan i realan, ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mesta, ovaj broj iznosi:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Osobine logaritama

Logaritamska funkcija je definisana za

Primer:

Logaritmi

Eksponencijalne nejednačine - zadaci

1.Reši nejednačinu

pa je funkcija monotono rastuća.

Eksponencijalna jednačina i nejednačina

Eksponencijalne jednačine - zadaci

1.Rešiti jednačinu:

Stepenovanje i korenovanje

Linearne jednaćine i nejednačine

Linearne jednačine i nejednačine - zadaci

Eksponencijalna jednačina i nejednačina

·      

·       Za eksponencijalne funkcije važi

Pitajte, odgovorićemo
Eksponencijalne jednačine - zadaci
Eksponencijalne nejednačine - zadaci
Eksponencijalne jednačine - primer 1
Eksponencijalnejednačine - primer 2
Eksponencijalne jednačine - primer 3

Linearne jednačine - zadaci

Rešiti jednačine:

Linearna jednačina i nejednačina

Apsolutna vrednost

Jednačine sa apsolutnim vrednostima

Sistem jednačina sa apsolutnim vrednostima

Linearne i kvadratne jednačine -zadaci

Linearna jednačina sa 2 nepoznate

Sistem linearnih jednačina sa 3 nepoznate

Postavite pitanje

Izvor zadataka:  Zorica Uzelac, Nevenka Adžić, Rade Doroslovački- Priprema za prijemni ispit iz matematike, 2003

Iracionalne jednačine

Rešiti jednačine:

 

Prvo određujemo vrednosti x za koje je izraz definisan u skupu realnih brojeva..

Ako je koren paran, izraz je definisan za svaku vrednost podkorene veličine koja je jednaka ili veća od 0.

Jednačina je definisana za

pa je:

Sistem jednačina sa apsolutnim vrednostima

 Rešiti sistem jednačina

Prema definiciji apsolutne vrednosti je:

Apsolutna vrednost

Nejednačine sa apsolutnim vrednostima

1. Rešiti nejednačinu:

Prema definiciji apsolutne vrednosti je:

Apsolutna vrednost

Nejednačine sa racionalnim funkcijama - primer 5

Prvo moramo odrediti definisanost izraza.

Racionalna funkcija je definisana ako i samo ako je imenilac različit od nule.

Izraz je definisan za 

Sada ćemo srediti nejednačinu

Jednačine sa apsolutnim vrednostima

1.Rešiti jednačinu:

Prema definiciji apsolutne vrednosti je:
Apsolutna vrednost

Nejednačine sa racionalnim funkcijama -primer 4

Rešiti nejednačinu

Prvo moramo odrediti definisanost izraza.

Racionalna funkcija je definisana ako i samo ako je imenilac različit od nule.

 Izraz je definisan za  

Sada ćemo srediti nejednačinu

Nejednačine sa racionalnim funkcijama - primer 3

Rešiti nejednačinu

Prvo moramo odrediti definisanost izraza.

Racionalna funkcija je definisana ako i samo ako je imenilac različit od nule.

Kvadratne jednačine i nejednačine

Funkcija u imeniocu nema rešenja u skupu realnih brojeva, znači da ne seče x-osu, pa je izraz definisan za svako x.

Izraz ima dva uslova,to jest imamo sistem od 2 nejednačine,  pa ćemo zadatak raditi iz dva dela.

Nejednačine sa racionalnim funkcijama - primer 2

Prvo moramo odrediti definisanost izraza.

Racionalna funkcija je definisana ako i samo ako je imenilac različit od nule.

Kvadratne jednačine i nejednačine

Sada sređujemo nejednačinu

Nejednačine sa racionalnim funkcijama-primer1

Rešiti nejednačine

Prvo moramo odrediti definisanost izraza.

Racionalna funkcija je definisana ako i samo ako je imenilac različit od nule.

Kvadratne jednačine i nejednačine

Pošto nema realnih rešenja, izraz je definisan za svako x u skupu racionalnih brojeva.