Analitička geometrija – elipsa, hiperbola, parabola

Analitička geometrija – kružnica- zadatak 3

Odrediti jednačinu tangente kružnice

U tački

Zadatak možemo rešiti na 2 načina, ali je u oba slučaja potrebno da nađemo obe koordinate tačke M.

Pošto tačka M pripada kružnici ona mora da zadovoljava jednačinu kružnice.

Iz uslova zadatka da je

Pa su koordinate tačke M(6,5)

Jednačinu tangente ćemo naći koristeći jednačinu prave kada je poznata jedna tačka i koeficijent pravca.

Koeficijent pravca tangente možemo naći na 2 načina.

Analitička geometrija- kružnica- zadatak 1

Napisati jednačinu kružnice koja prolazi kroz tačke A(2,3) i B(5,2) a centar joj se nalazi na x-osi.

Zadatak se može rešiti na 2 načina

Prvi način:

Prema uslovu zadatka duž AB je tetiva kružnice, pa se centar nalazi u preseku simetrale duži AB i x-ose.

Jednačinu simetrale s ćemo naći , preko formule za jednačinu prave ako je poznat koeficijent pravca  i jedna tačka.

Koeficijent pravca prave s je

Analitička geometrija- kružnica- zadatak 2

Odrediti presečne tačke prave

i kružnice

Naći centar i poluprečnik posmatrane kružnice.

Presečne tačke ćemo naći rešenjem sistema jednačina

Analitička geometrija-kružnica

Jednačina kružnice

je

Primer:

Analitička geometrija – prava- primer 3

Tačke A(-3,-1), B(1,1) i C(-2,3) određuju trougao. Napisati jednačinu pravih na kojoj leže visina i težišna linija iz temena C. Odrediti podnožje visine iz temena C i dužinu ove visine.

Prvo ćemo nacrtati skicu

Pođimo od visine. Vidimo da prava na kojoj leži visina prolazi kroz tačku C i normalna je na pravu p na kojoj leži duž AB. Iz toga zaključujemo da ćemo jednačinu prave na kojoj leži visina naći iz jednačine prave kada je poznata jedna tačka i koeficijent pravca .

Analitička geometrija – prava-primer 2

Tačke A(4,2) i B(1,-7) određuju pravu p.Na pravoj  p, odrediti tačku T jednako udaljenu od koordinatnog početka O i tačke A.

Prvo nacrtajmo sliku kako bismo dobili ideju o načinu izrade zadatka.

Sa slike vidimo da je trougao AOT jednakokraki trougao jer je po zahtevu zadatka AT =ОТ. Tačka T se nalazi u preseku pravih  p, h i  f.

Analitička geometrija- prava- Primer 1

Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih:

I paralelna je sa pravom

Zadatak od nas traži da odredimo jednačinu prave kada je poznata tačka prave A i koeficijent pravca k.

Pogledajmo sliku na kojoj je crvenom  linijom data prava čiju jednačinu treba naći.

Analitička geometrija – prava

 Jednačina prave (slika 1)

Opšti oblik jenačine prave glasi

Posebni slučajevi pravih su prikazani na slici 2

Analitička geometrija – TAČKA

 ·         Svaka tačka T u ravni se zadaje svojim koordinatama T(x_1, y₁)

·         Vektor koji spaja tačke A(x_1, y₁) i B(x_2, y₂) je

Rene Dekart

Dekart Rene (Descartes René, latinski Renatus Cartesius) rođen je 31. marta 1596. u La Eju (La Haye) u Francuskoj. Bio je član imućne građanske porodice koja je dala nekoliko učenih ljudi. Otac mu je bio advokat i sudija, pa nije imao mnogo vremena za porodicu. Majka mu je umrla godinu dana posle njegovog rođenja, pa je njega, brata i sestru podizala baka u La Eju. 1604. godine, kada je imao osam godina, poslat je u jezuitsku školu u La Flesu (La Flèche) gde se učila aristotelovska filozofija prirode, logika, fizika, metafizika i matematika. Zapravo, nastava se svodila na komentarisanje Aristotelovih dela. Imao je problema sa zdravljem, pa je dobio dozvolu da ostaje u krevetu do jedanaest sati ujutru. Tamo je učio do 1612. Zatim se upisao na Univerzitet u Puatijeu (Poitiers) gde je učio prava i godinu dana kasnije diplomirao. Ipak, nikada se nije bavio pravom. 1618. je postao član armije princa Morisa od Nassaua, vođe Ujedinjenih Holandskih Provincija sa namerom da nastavi vojnu karijeru. Iako postoje razlozi za mišljenje da je mogao biti vojnik, većina biografa raspravljaju o tome da je više verovatno da su njegove dužnosti bile orijentisane prema obrazovanju ili inžinjerstvu. 

APSOLUTNA VREDNOST

U matematici je apsolutna vrednost ili modul realnog broja a izraz |a| koji određuje veličinu broja bez obzira na pozitivan ili negativan predznak. Na taj način apsolutna vrednost broja 4 i broja -4 iznosi 4.

Pojam apsolutne vrednosti, odn.modula broja koristi se negde od 1806. godine, a uveo ga je francuski matematičar Jean-Robert Argand i to za apsolutnu vrednost kompleksnog broja.

Za svaki realni broj a apsolutna vrednost broja ili modul od a je definisana kao