Kubna jednačina

Polinom (a ≠ 0) trećeg stepena (1):

seče X-osu u tačkama koje su nule odgovarajuće jednačine trećeg stepena, kubne jednačine 

Prva smena

Jednačina (a ≠ 0) trećeg stepena (3):

smenom

postaje (4):

gde su

Druga smena

Jednačina trećeg stepena (4), smenom

postaje (6):

Kako smo ovde jednu nepoznatu y zamenili sa dve u i v to možemo uvesti dodatni uslov (7):

Prema tome, jednačina (4) je ekvivalentna sa sistemom (8):

Kardanov obrazac

Sistem (8) je ekvivalentan sistemy (10):

Rešavajući ga nalazimo kvadratnu jednačinu (11):

Vraćanjem druge smene dobijamo rešenje za (4), Kardanov obrazac (12):

Ostala rešenja

Parovi (u, v) su rešenja sistema (8). Iz jednačina

proizilazi

gde su treći koreni jedinice

Prema tome, sva rešenja jednačine (4) data su formulama (13):

koje se takođe nazivaju Kardanove formule.

Diskusija

Kada su koeficijenti p i q realni, tada realnost rešenja jednačine (4) zavisi od izraza

koji se naziva diskriminanta jednačine trećeg stepena.

Trigonometrijski metod

Za nesvodljiv slučaj, odredimo glavnu vrednost korena

Zato, izrazimo u u trigonometrijskom obliku (14):

Kako je

to za ovaj, nesvodljivi slučaj važi p < 0.

Iz (14) dobijamo (15):

što znači da je argument φ kompleksnog broja t₁ ispunjava uslov 0 < φ < π.

Argument φ određuje se iz (15), ili iz

Kako je

biće

Iz

nalazimo

Konačno dobijamo

Prema tome, u nesvodljivom slučaju (D < 0) rešenja jednačine (4) su

Povezani tekstovi

Logaritamska i kubna jednačina u jednom zadatku

Primer rešavanja kubne jednačine trigonometrijskom metodom 1

                                                                                          primer 2

Kubna jednačina - primer

Primena Kardanove formule - primer

Izvor:

http://www.elemenat.com/lat/kubnajed.php